An asymptotic preserving scheme for the Schrödinger equation in the semiclassical limit

This Note is devoted to the discretization of the fluid formulation of the Schrödinger equation (the Madelung system). We explore both the discretization of the system in Eulerian coordinates and Lagrangian coordinates. We propose schemes for these two formulations which are implicit in the mass flux term. This feature allows us to show that these schemes are asymptotic preserving i.e. they provide discretizations of the semi-classical Hamilton–Jacobi equation when the scaled Planck constant ε tends to 0. An analysis performed on the linearized systems also shows that they are asymptotically stable i.e. their stability condition remains bounded as ε tends to 0. Numerical simulations are given; they confirm that the considered schemes allow us to numerically bridge the quantum and semi-classical scales. To cite this article: P. Degond et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

RésuméCette Note est consacrée à la discrétisation de la formulation fluide de l'équation de Schrödinger (le système de Madelung) en formulations eulerienne et lagrangienne. Nous proposons des schémas pour ces deux formulations qui sont implicites dans le terme de flux de masse. Cette caractéristique nous permet de montrer que ces schémas sont asymptotiquement préservatifs, c'est à dire qu'ils fournissent une discrétisation des équations de Hamilton–Jacobi semi-classiques lorsque la constante de Planck adimensionnée ε tend vers 0. De plus, une analyse linéarisée permet de montrer que ces schémas sont asymptotiquement stables, c'est à dire que leur contrainte de stabilité reste bornée lorsque ε tend vers 0. Des simulations numériques sont proposées ; elles confirment que les schémas considérés permettent de fournir une passerelle numérique entre les échelles quantiques et semi-classiques. Pour citer cet article : P. Degond et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).