The Casson invariant and the word metric on the Torelli group

We bound the value of the Casson invariant of any integral homology 3-sphere M by a constant times the distance-squared to the identity, measured in any word metric on the Torelli group I, of the element of I associated to any Heegaard splitting of M. We construct examples which show this bound is asymptotically sharp. To cite this article: N. Broaddus et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

RésuméSoit M une sphère d'homologie de dimension 3. Tout scindement de Heegaard de M définit un élément du groupe de Torelli I. Nous montrons que l'invariant de Casson de M est borné par une constante fois le carré de la longueur de cet élément. Cette longueur est définie comme la longueur minimale d'un mot le représentant, écrit en utilisant un système générateur fini quelconque de I. Nous construisons des exemples qui montrent que cette borne est asymptotiquement la meilleure possible. Pour citer cet article : N. Broaddus et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).