Recovery of a displacement field on a surface from its linearized change of metric and change of curvature tensors

We establish that the components of the linearized change of metric and change of curvature tensors associated with a displacement field of a surface in R3 must satisfy compatibility conditions, which are the analogues ‘on a surface’ of the Saint Venant equations in three-dimensional elasticity.We next show that, conversely, if two symmetric matrix fields of order two satisfy these compatibility conditions over a simply-connected surface S⊂R3, then they are the linearized change of metric and change of curvature tensors associated with a displacement field of the surface S. To cite this article: P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

RésuméOn montre que les composantes des tenseurs linéarisés de changement de métrique et de changement de courbure associés à un champ de déplacements d'une surface de R3 doivent satisfaire certaines relations de compatibilité, qui sont les analogues « sur une surface » des relations de Saint Venant en élasticité tri-dimensionnelle.On montre ensuite que, inversement, si deux champs de matrices symétriques d'ordre deux satisfont ces mêmes relations de compatibilité sur une surface S⊂R3 simplement connexe, alors ce sont les tenseurs linéarisés de changement de métrique et de changement de courbure d'un champ de déplacements de la surface S. Pour citer cet article : P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).