Sums of integral squares in cyclotomic fields ⁎

Let Kn=Q(ζn) be the n-th cyclotomic field with . Let On=Z[ζn] be the ring of integers of Kn and Sn the set of all elements α∈On which are sums of squares in On. Let gn be the smallest positive integer m such that every element in Sn is a sum of m squares in On. In this Note, we show that gn=3 unless n is odd and the order of 2 in ∗(Z/nZ) is odd, in which case gn=4. To cite this article: C.-G. Ji, D.-S. Wei, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

RésuméSoit Kn le n-ième corps cyclotomique, avec , n>1. Soit On l'anneau des entiers de Kn et soit Sn le sous-ensemble de On formé des éléments qui sont sommes de carrés. Soit gn le plus petit entier m>0 tel que tout élément de Sn soit somme de m carrés d'éléments de On. Nous montrons que : gn=3 si n est divisible par 4 ; gn=3 (resp. gn=4) si n est impair et si l'ordre de 2 dans le groupe multiplicatif ∗(Z/nZ) est pair (resp. impair). Pour citer cet article : C.-G. Ji, D.-S. Wei, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).