Un problème d'optimisation de forme pour la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 2D

RésuméOn considère l'équation des ondes homogène posée sur Ω⊂R2 et ω⊂Ω. On désigne par vω le contrôle distribué de norme L2(ω×(0,T)) minimale obtenu par la méthode HUM et stabilisant le système à l'instant T>0. Cette Note adresse la question de la position optimale du support ω miniminisant . Supposant ω∈C1,1(Ω), on exprime la dérivée de forme de J en terme d'une intégrale curviligne sur ∂ω (indépendamment de toute solution adjointe) permettant de mettre en place un algorithme de gradient. Une application numérique est donnée. Pour citer cet article : A. Münch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

We consider the wave equation defined on Ω⊂R2 and ω⊂Ω. We designate by vω the distributed control of minimal L2(ω×(0,T)) norm obtained with the Hilbert Uniqueness Method which stabilizes the system at time T>0. This Note addresses the question of the optimal position of ω in order to minimize . Assuming ω∈C1,1(Ω), we express the shape derivative of J as a curvilinear integral on ∂ω (independently of any adjoint solution) leading to a descent algorithm. A numerical application is given. To cite this article: A. Münch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).