A Gauss sum estimate in arbitrary finite fields

We establish bounds on exponential sums ∑x∈Fqψ(xn) where q=pm, p prime, and ψ an additive character on Fq. They extend the earlier work of Bourgain, Glibichuk, and Konyagin to fields that are not of prime order (m⩾2). More precisely, a non-trivial estimate is obtained provided n satisfies for all 1⩽ν0 is arbitrary. To cite this article: J. Bourgain, M.-C. Chang, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméOn etabli des bornes sur les sommes d'exponentielles ∑x∈Fqψ(xn) où q=pm, p est premier et ψ est un caractère additif de Fq. Il s'agit d'une extension des résultats de Bourgain, Glibichuk, et Konyagin pour un corps qui n'est pas d'ordre premier, c'est-à-dire m⩾2. On obtient une estimée non-triviale pour tout n satisfaisant la condition pour tout 1⩽ν0 est arbitraire. Pour citer cet article : J. Bourgain, M.-C. Chang, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).