On a class of three-phase checkerboards with unusual effective properties

We examine the band spectrum, and associated Floquet–Bloch eigensolutions, arising in a class of three-phase periodic checkerboards. On a periodic cell [−1,1[2, the refractive index, n, is defined by n2=1+g1(x1)+g2(x2) with gi(xi)=r2 for 0⩽xi<1, and gi(xi)=0 for −1⩽xi<0 where r2 is constant. We find that for r2>−1 the lowest frequency branch goes through origin with linear behaviour, which leads to effective properties encountered in most periodic structures. However, the case whereby r2=−1 is very unusual, as the frequency λ behaves like near the origin, where k is the wavenumber. Finally, when r2<−1, the lowest branch does not pass through the origin and a zero-frequency band gap opens up. In the last two cases, effective medium theory breaks down even in the quasi-static limit, while the high-frequency homogenization [R.V. Craster, J. Kaplunov, A.V. Pichugin, High-frequency homogenization for periodic media, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A 466 (2010) 2341–2362] neatly captures the detailed features of band diagrams.

RésuméNous étudions le spectre de bande associé aux modes de Floquet–Bloch dans une classe dʼéchiquiers périodiques. Sur une cellule de base [−1,1[2, lʼindice de réfraction, n, est défini par n2=1+g1(x1)+g2(x2) où gi(xi)=r2 (une constante) pour 0⩽xi<1, et gi(xi)=0 pour −1⩽xi<0. Pour r2>−1, la première bande passe par lʼorigine avec un comportement linéaire, ce qui conduit à des propriétés effectives rencontrées dans la plupart des structures périodiques. En revanche, le cas r2=−1 est moins ordinaire, puisque la bande de fréquences acoustiques λ se comporte comme au voisinage de lʼorigine, avec k le nombre dʼonde. Finallement, quand r2<−1, la bande acoustique disparaît : la première bande ne passe plus par lʼorigine et une bande interdite à fréquence nulle apparaît. Dans ces deux derniers cas de figure, la théorie des milieux effectifs ne sʼapplique pas, alors que la théorie dʼhomogénéisation hautes fréquences [R.V. Craster, J. Kaplunov, A.V. Pichugin, High-frequency homogenization for periodic media, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A 466 (2010) 2341–2362] reproduit avec précision les diagrammes de bandes.