Eshelby generalization for the dynamic J,L,M integrals

The dynamic generalization—in the presence of inertia forces—of Eshelby's force on an elastic singularity is presented, where the total change of the energy of the system in two different defect motions, differing by an infinitesimal displacement throughout the history of the motion, is computed by considering the difference in the work of the tractions (with inertia forces considered as body forces) on a cut-out surface in Eshelby's thought ‘cut and re-insert’ experiment needed to realize the shift of the defect in the different motions. This expression, which coincides with a surface-independent obtained by Fletcher (1976) by applying Noether's theorem applied on the Lagrangian, is defined as the dynamic J integral. Changes of the energy of the system as computed by the changes in the work of the tractions (by the same thought experiment) needed to realize the rotation of the defect yield an expression that coincides with another expression obtained by Fletcher, and is defined as the dynamic L integral with meaning of a moment on an elastic singularity, while changes in the work of the tractions with respect to a self-similar scaling parameter coincide with another conserved expression in Fletcher, which is defined as the dynamic M integral. To cite this article: X. Markenscoff, C. R. Mecanique 334 (2006).

RésuméNous présentons la généralisation dynamique de la force d'Eshelby agissant sur une singularité élastique en présence des forces d'inertie. Dans le cas étudié, on évalue la variation totale de l'énergie du système avec deux mouvements différents d'un défaut en considérant la différence du travail des forces de traction (en tenant compte de forces inertielles considérées aussi comme des forces appliquées au corps) sur la surface d'un élément découpé dans l'expérience imaginaire d'Eshelby ( « découpage et la re-insertion ») permettant d'effectuer le déplacement du défaut dans des mouvements différents. Cette expression, qui coïncide avec l'expression obtenue par Fletcher (1976) et qui ne dépend pas du choix de la surface par l'application du théorème de Noether au Lagrangien du problème, est définie comme l'intégrale dynamique J. Les variations de l'énergie du système considérées comme celles du travail des forces de traction nécessaires pour effectuer une rotation infinitésimale du défaut donnent une expression coïncidant avec une autre formule obtenue par Fletcher, et sont définies comme l'intégrale dynamique L correspondant au moment cinétique de la singularité élastique. Les variations du travail des forces de traction produisant la variation du paramètre d'échelle coïncident avec une autre quantité conservée obtenue dans Fletcher, définie comme l'intégrale dynamique M. Pour citer cet article : X. Markenscoff, C. R. Mecanique 334 (2006).