Computing Green's function of elasticity in a half-plane with impedance boundary condition

This Note presents an effective and accurate method for numerical calculation of the Green's function G associated with the time harmonic elasticity system in a half-plane, where an impedance boundary condition is considered. The need to compute this function arises when studying wave propagation in underground mining and seismological engineering. To theoretically obtain this Green's function, we have drawn our inspiration from the paper by Durán et al. (2005), where the Green's function for the Helmholtz equation has been computed. The method consists in applying a partial Fourier transform, which allows an explicit calculation of the so-called spectral Green's function. In order to compute its inverse Fourier transform, we separate as a sum of two terms. The first is associated with the whole plane, whereas the second takes into account the half-plane and the boundary conditions. The first term corresponds to the Green's function of the well known time-harmonic elasticity system in R2 (cf. J. Dompierre, Thesis). The second term is separated as a sum of three terms, where two of them contain singularities in the spectral variable (pseudo-poles and poles) and the other is regular and decreasing at infinity. The inverse Fourier transform of the singular terms are analytically computed, whereas the regular one is numerically obtained via an FFT algorithm. We present a numerical result. Moreover, we show that, under some conditions, a fourth additional slowness appears and which could produce a new surface wave. To cite this article: M. Durán et al., C. R. Mecanique 334 (2006).

RésuméDans cette Note, nous présentons une méthode numérique effective et précise de calcul de la fonction de Green G du système de l'élasticité en régime harmonique. Le problème est posé dans un demi-plan et les conditions aux limites sur la frontière de ce demi-plan sont du type impédance. Ce problème se rencontre dans l'exploitation des mines souterraines et en séismologie. La méthode de calcul est inspirée du travail de Duran et co-auteurs (2005) qui traite du calcul de la fonction de Green du problème de Helmholtz dans un demi-plan. Elle consiste à utiliser la transformée de Fourier partielle en la variable tangentielle, ce qui permet un calcul explicite de la fonction de Green spectrale . Pour calculer sa transformée de Fourier inverse, nous décomposons en une somme de deux termes. Le premier est associé à l'espace entier, tandis que le second prend en compte le demi-plan et les conditions aux limites. Le premier terme n'est autre que la fonction de Green du plan pour le système de l'élasticité en régime harmonique (cf. la thèse de J. Dompierre). Le second terme se sépare en trois termes, dont deux contiennent les singularités de la fonction spectrale (les pôles et les pseudo-pôles) tandis que le dernier est régulier et décroissant à l'infini. Nous calculons analytiquement la transformée de Fourier des deux termes singuliers et celle du dernier terme est obtenue par un algorithme type FFT. Nous présentons un résultat numérique. En outre, nous montrons que, sous certaines conditions, il est possible d'avoir une quatrièmme lenteur, qui pourrait propager une nouvelle onde de surface. Pour citer cet article : M. Durán et al., C. R. Mecanique 334 (2006).