On the exact controllability of hyperbolic magnetic Schrödinger equations

In this paper, we address the exact controllability problem for the hyperbolic magnetic Schrödinger equation, which plays an important role in the research of electromagnetics. Typical techniques, such as Hamiltonian induced Hilbert spaces and pseudodifferential operators are introduced. By choosing an appropriate multiplier, we proved the observability inequality with sharp constants. In particular, a genuine compactness–uniqueness argument is applied to obtain the minimal time. In the final analysis, a suitable boundary control is constructed by the systematic Hilbert Uniqueness Method introduced by J. L. Lions. Compared with the micro-local discussion in Bardos et al. (1992), we do not require the coefficients belong to C∞C∞. Actually, C1C1 is already sufficient for the vector potential of the hyperbolic electromagnetic equation.

RésuméDans cet article, on considère le problème de contrôlabilité exacte pour l’équation magnétique hyperbolique de Schrödinger, qui joue un rôle important dans la recherche de l’électromagnétisme. Les techniques typiques, tels que les espaces de Hilbert induits de l’opérateur hamiltonien et des opérateurs pseudo-différentiels, sont introduites. En choisissant un multiplicateur approprié, on a démonstré l’inégalité d’observabilité avec des constantes fortes. En particulier, l’argument authentique de compacité-unicité est appliqué pour obtenir le temps minimal. Enfin, un contrôle frontière est construit par la méthode systématique, la méthode hilbertienne de l’unicité introduite par J. L. Lions. Par rapport à la discussion dans Bardos et al. (1992), il n’est pas nécessaire que les coefficients appartiennent à C∞C∞. En fait, C1C1 est déjà suffisante pour le potentiel vecteur de l’équation électromagnétique hyperbolique.