Solutions in H1 of the steady transport equation in a bounded polygon with a fully non-homogeneous velocity

Cet article étudie les solutions dans H1 d'une équation de transport stationnaire avec une vitesse de régularité W1,∞ à divergence nulle, dans un polygone borné. La vitesse étant supposée non nulle sur la frontière, l'existence et l'unicité de la solution requièrent une condition sur la partie de la frontière où la composante normale de la vitesse est strictement négative. Dans un précédent article, on a étudié les solutions dans L2 de cette équation de transport stationnaire. Les méthodes, développées dans cet article, peuvent être étendues pour démontrar l'existence et l'unicité d'une solution dans H1 avec une condition de Dirichlet sur Γ− seulement dans le cas où la composante normale de u ne s'annulle pas à la frontière de Γ−. Dans le cas où la composante normale de u s'annulle à la frontière de Γ−, sous des hypothèses appropriées, on construit des solutions locales au voisinage des points frontières de Γ− de régularité H1, qui permettent d'établir l'existence et l'unicité de la solution dans H1 de l'équation de transport avec une condition de Dirichlet sur Γ−.