Lee-Yang zeros for the DHL and 2D rational dynamics, I. Foliation of the physical cylinder

Dans un article célèbre des années 1950, Lee et Yang ont montré que les zéros de la fonction de partition du modèle d'Ising ferromagnétique sont situés sur le cercle unité. La répartition de ces zéros est physiquement intéressante car elle permet de prévoir les transitions de phases de ce modèle. On se propose d'étudier cette répartition dans le cas particulier du réseau auto-similaire en losange de Migdal-Kadanoff (DHL). Pour ce modèle, la répartition peut être obtenue à travers l'étude des propriétés dynamiques d'une fonction rationnelle explicite de deux variables, R (la fonction de renormalisation). On démontre que R est partiellement hyperbolique sur un cylindre invariant C. On montre ensuite que les zéros de Lee et Yang sont répartis selon une mesure transverse pour le feuilletage central et stable de R|C, et que cette répartition est absolument continue. La densité obtenue est C∞ (et non-nulle) en dessous de la température critique. Au-dessus de la température critique, elle est C∞ sur un ouvert dense, et s'annule sur le complémentaire (de mesure positive) de cet ensemble.