Hamilton-Jacobi theory, symmetries and coisotropic reduction

La théorie de la réduction a joué un rôle majeur dans l'étude des systèmes hamiltoniens. D'autre part, la théorie de Hamilton-Jacobi est l'un des outils permettant d'intégrer la dynamique de certain problème (problèmes) hamiltoniens, ce qui en fait un domaine de recherche très actuel. De plus, la construction de certain intégrateur symplectique utilise l'approximation d'une solution complète de l'équation de Hamilton-Jacobi. La question naturelle à laquelle on s'intéresse dans cet article est celle de savoir comment ces deux théories s'accordent entre elles. On obtient une procédure de réduction et de reconstruction pour les solutions de l'équation de Hamilton-Jacobi avec des hypothèses additionnelles de symmétrie, on traite aussi le cas de solutions plus générales (dans un sens précisé plus bas). Dans la dernière section, on donne des applications et on étudie le lien entre la réduction proposée dans cet article et celle existante dans la littérature. De manière assez surprenante, on obtient gratuitement non seulement une généralisation de la procédure de réduction de Ge-Marsden [18] mais aussi les résultats obtenus par Ge [17]. Notre approche nous permet de retrouver l'ansatz classique permettant de résoudre l'équation de Hamilton-Jacobi (voir [2], [10]).