Powerful numbers in (1ℓ + qℓ)(2ℓ + qℓ)⋯(nℓ + qℓ)

Soit q un entier positif. Récemment, Niu et Liu ont montré que, si n≥max⁡(q,1198−q), alors le produit (13+q3)(23+q3)…(n3+q3) n'est pas un nombre puissant. Dans cette Note, nous montrons : (1) que le produit (1ℓ+qℓ)(2ℓ+qℓ)…(nℓ+qℓ) n'est pas un nombre puissant pour toute puissance ℓ d'un nombre premier impair et n≥max⁡(q,11−q); (2) que, pour tout nombre impair positif ℓ, il existe un entier Nq,ℓ tel que pour tout entier n≥Nq,ℓ, le produit (1ℓ+qℓ)(2ℓ+qℓ)…(nℓ+qℓ) ne soit pas un nombre puissant.