Dynamical covering problems on the triadic Cantor set

Nous considérons dans cette Note la théorie métrique des recouvrements dynamiques dans l'ensemble de Cantor triadique K. Plus précisément, soit Tx=3x(mod1) l'application naturelle sur K, μ la mesure de Cantor standard et x0∈K un point donné. Nous considérons la mesure de l'ensemble des points de K qui peuvent être bien approchés par l'orbite {Tnx0}n≥1 de x0, c'est-à-dire l'ensembleD(x0,φ):={y∈K:|Tnx0−y|<φ(n)pour une infinité den∈N}, où φ est une fonction positive définie sur N. Nous montrons que pour μ-presque tout x0∈K la mesure de Hausdorff de D(x0,φ) est soit zéro, soit pleine, selon la convergence ou la divergence d'une certaine série. Notre démonstration fournit en passant une contre-partie inhomogène au travail de Levesley, Salp et Velani sur une question de Mahler relative à l'approximation rationnelle des points de l'ensemble de Cantor.