A trace formula for functions of contractions and analytic operator Lipschitz functions

Nous considérons dans cette note le problème qui consiste à trouver le trace de f(T)−f(R), où T et R sont des contractions dans un espace hilbertien et f est une fonction analytique dans le disque unité D. Il est bien connu que, si f est une fonction analytique dans D qui est opérateurs-lipschitzienne, la différence T−R est de classe trace, c'est-à-dire que si T−R∈S1, alors f(T)−f(R)∈S1. Le résultat principal de cette note établit qu'il existe une fonction ξ (une fonction de décalage spectral) sur le cercle unité T dans l'espace L1(T) pour laquelle la formule de trace suivante est vraie : trace(f(T)−f(R))=∫Tf′(ζ)ξ(ζ)dζ pour n'importe quelle fonction f opérateurs-lipschitzienne et analytique dans D.