Boundedness of classical solutions for a chemotaxis model with consumption of chemoattractant

Nous montrons que les solutions classiques du système ci-dessus sont uniformément bornées en temps, pourvu que :‖v0‖L∞(Ω)<{1χξ2(n+1)[π+2arctan⁡((1−ξ)22(n+1)ξ)],si0<ξ<1,πχ2(n+1),siξ=1,1χξ2(n+1)[π−2arctan⁡((ξ−1)22(n+1)ξ)],siξ>1. Dans le cas ξ=1, des résultats récents montrent que les solutions classiques sont globales et bornées dès que 0<‖v0‖L∞(Ω)≤16(n+1)χ. Comme 16(n+1)χ<πχ2(n+1) ou, plus précisément, limn→∞⁡πχ2(n+1)16(n+1)χ=+∞, ces résultats se déduisent des nôtres.