Perverse sheaves and knot contact homology

Dans cette Note, nous donnons une nouvelle construction algébrique de l'homologie de contact des nœuds, au sens de Ng [37]. Pour un entrelacs L dans R3, nous définissons une k-catégorie différentielle graduée A˜L ayant un nombre fini d'objets, dont la classe de quasi-équivalence est un invariant topologique de L. Lorsque L est un nœud, l'algèbre des endomorphismes d'un objet distingué de A˜L coïncide avec l'algèbre différentielle graduée, pleinement non commutative du nœud, définie par Ekholm, Etnyre, Ng et Sullivan dans [12]. Notre construction se base sur une action naturelle du groupe de tresses Bn sur la catégorie des faisceaux pervers sur un disque de dimension deux avec singularités en n points marqués, étudiée par Gelfand, McPherson et Vilonen dans [19]. Comme application, nous montrons que la catégorie des représentations de dimension finie de la k-catégorie d'entrelacs A˜L=H0(A˜L), définie comme l'homologie de degré 0 de A˜L, est équivalente à la catégorie des faisceaux pervers sur R3 qui sont singuliers le long de l'entrelacs L. Nous obtenons également plusieurs généralisations de la catégorie A˜L en étendant l'action du groupe de tresses de Gelfand-MacPherson-Vilonen.