Uniqueness and Lagrangianity for solutions with lack of integrability of the continuity equation

On étudie l'unicité des solutions au sens des distributions de l'équation de continuité avec des champs de vecteurs Sobolev et la propriété d'être une solution lagrangienne, c'est-à-dire une solution transportée par le flot de l'équation différentielle ordinaire associée au champ de vecteurs. On travaille dans un cadre où les solutions considérées manquent d'intégrabilité locale et où on ne peut pas appliquer la théorie classique de DiPerna-Lions d'unicité des solutions au sens des distributions et de la propriété d'être lagrangienne, parce que l'on n'a pas assez d'intégrabilité pour le commutateur. On introduit un principe général pour démontrer la propriété d'être une solution lagrangienne : notre technique se base sur une désintégration le long du flot unique et sur un lemme d'extension lipschitzienne directionnelle, qui nous permet de construire une vaste famille de fonctions tests pour la formulation lagrangienne au sens des distributions de l'équation de continuité.