Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds

Soit L=Δ−∇ϕ⋅∇ un opérateur de diffusion symétrique par rapport à une mesure invariante μ(dx)=e−ϕ(x)dx sur une variété riemannienne complète non-compacte M. Dans cet article, nous donnons les conditions optimales sur « la courbure de Ricci de dimension m associée à L » pour établir les théorèmes de Liouville pour les fonctions L-harmoniques, la propriété de C0-diffusion et l'unicité dans L1(M,μ) pour le semigroupe de la chaleur Pt=etL. Comme application, nous établissons l'unicité de la mesure L-invariante positive et l'unicité dans L1 pour les opérateurs de Schrödinger intrinsèques sur les variétés riemanniennes complètes non-compactes. Nous donnons aussi un critère pour la finitude de la masse totale de la mesure L-invariante et établissons le théorème de la croissance de volume de Calabi-Yau pour la mesure L-invariante sur les variétés riemanniennes complètes pour lesquelles « la courbure de Ricci de dimension m associée à L » est non-négative. Ceci implique que si M est une variété riemannienne complète sur laquelle il existe un opérateur de diffusion symétrique L pour lequel la courbure de Ricci de dimension m associée est non-négative, et si la masse totale de la mesure L-invariante est finie, alors M est compacte. De plus, nous obtenons une estimation de la borne supérieure du diamètre de telles variétés par la dimension de L, le μ-volume total de M et la borne supérieure du μ-volume des boules géodésiques de rayon fixé. Enfin, en utilisant les formules variationnelles de géométrie riemannienne, nous donnons une nouvelle démonstration du théorème de comparaison de Bakry-Qian sur les laplaciens généralisés.