Criterion for the Lp-dissipativity of second order differential operators with complex coefficients

On montre que la condition algébrique |p−2||〈ImAξ,ξ〉|⩽2p−1〈ReAξ,ξ〉 (pour tout ξ∈Rn) est nécessaire et suffisante pour la dissipativité Lp du problème de Dirichlet pour l'opérateur différentiel ∇t(A∇), où A est une matrice dont les coefficients sont des mesures complexes et la partie imaginaire est symétrique. Ce résultat est nouveau même pour des coefficients réguliers, quand il implique un critère de contractivité Lp du semi-groupe correspondant. On considère aussi l'opérateur ∇t(A∇)+b∇+a, où les coefficients sont réguliers et ImA n'est pas nécessairement symétrique. On montre que la condition algébrique précédente est nécessaire et suffisante pour la quasi-dissipativité Lp de cet opérateur. La même condition est nécessaire et suffisante pour la quasi-contractivité Lp du semi-groupe correspondant. On donne une condition nécessaire et suffisante pour la dissipativité Lp dans Rn de l'opérateur ∇t(A∇)+b∇+a à coefficients constants.