Scattering theory for the Schrödinger equation with repulsive potential

Nous considérons la théorie de la diffusion pour l'équation de Schrödinger ayant −Δ−|x|α pour hamiltonien de référence, avec 0<α⩽2, en toute dimension d'espace. Nous démontrons que lorsque cet hamiltonien est perturbé par un potentiel, la notion habituelle de courte portée/longue portée est affaiblie : la décroissance limite de la perturbation dépend de la valeur de α, et est liée à la vitesse des trajectoires classiques dans le cas non perturbé. Nous établissons l'existence d'opérateurs d'ondes ainsi que leur complétude asymptotique grâce à des estimations de Mourre reposant sur de nouveaux opérateurs conjugués. En outre, nous construisons la vitesse asymptotique et nous décrivons son spectre. Enfin, nous généralisons certains résultats au cas où −|x|α est remplacé par un polynôme du second degré.