The Camassa-Holm equation on the half-line

Nous étudions un problème aux limites pour l'équation de Camassa-Holm sur la demi-droite en exprimant la solution en termes de la solution d'un problème de Riemann-Hilbert matriciel dans le plan complexe du paramètre spectral k. La matrice de saut de ce problème de Riemann-Hilbert est déterminée par les fonctions spectrales qui correspondent aux valeurs initiales et aux valeurs au bord. Nous démontrons que si les valeurs au bord u(0,t) sont ⩾0 pout tout t, alors le problème aux limites a une solution unique, qui s'exprime en termes de la solution du problème de Riemann-Hilbert associé. Lorsque les valeurs au bord u(0,t) sont <0, les valeurs aux limites doivent vérifier une relation de compatibilité qui s'explicite par une relation algébrique que doivent satisfaire les fonctions spectrales associées. Pour citer cet article : A. Boutet de Monvel, D. Shepelsky, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).