Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces

Nous introduisons et nous étudions les bornes de la courbure Curv̲(M,d,m)⩾K pour des espaces métriques mesurés (M,d,m), en utilisant des propriétés de convexité de l'entropie relative Ent(⋅|m). Pour les variétés riemanniennes, Curv̲(M,d,m)⩾K, si et seulement si RicM(ξ,ξ)⩾K⋅|ξ|2 pour tout ξ∈TM. Nous définissons une métrique D complète, séparable sur la famille des classes d'isomorphie d'espaces métriques mesurés, normalisés. Cette métrique a une interprétation naturelle dans le contexte du transport de masse. Nos bornes inférieures de la courbure sont stables pour la D-convergence. Nous démontrons aussi que, pour la D-convergence, la famille des espaces métriques mesurés, normalisés, avec une constante de doublement ⩽C est fermée et, de plus, la sous-famille, dont les élements ont un diamètre ⩽R est compacte. Pour citer cet article : K.-T. Sturm, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).