On the invertibility of Born-Jordan quantization

Comme conséquence du théorème des noyaux de Schwartz chaque opérateur linéaire continu Aˆ:S(Rn)⟶S′(Rn) peut être écrit d'une manière unique comme un opérateur de Weyl, c'est-à-dire comme la quantification de Weyl d'un symbole a∈S′(R2n) unique. Il s'ensuit que la « déquantification » d'un tel opérateur peut toujours être effectuée, et ceci de manière unique. Malgré l'importance de ce résultat en mécanique quantique et en analyse temps-fréquence, cette question n'a pas été envisagée dans le cas de la quantification de Born et Jordan, sauf dans le cas des symboles polynomiaux, abordé ici. Dans cet article on montre que tout opérateur Aˆ défini comme ci-dessus peut être écrit comme un opérateur de Born-Jordan, bien que cette représentation ne soit jamais unique si l'on considère des symboles suffisamment généraux (distributions tempérées). On étudie ensuite le même problème en remplaçant l'espace des distributions tempérées par l'espace des fonctions infiniment différentiables à croissance lente qui se prolongent en des fonctions entières sur Cn à croissance au plus polynomiale dans les directions imaginaires pures. On démontre encore une fois la validité d'une telle représentation, ainsi que l'existence d'un seuil précis pour la croissance exponentielle assurant l'unicité de cette représentation. On utilise pour cela des techniques empruntées à la théorie de la division des distributions.