Relative entropy for compressible Navier-Stokes equations with density-dependent viscosities and applications

Récemment, A. Vasseur et C. Yu ont prouvé (voir A. Vasseur, C. Yu, Existence of global weak solutions for 3D degenerate compressible Navier-Stokes equations, arXiv:1501.06803, 2015) l'existence globale de solutions faibles entropiques des équations de Navier-Stokes compressibles avec des viscosités ν(ϱ)=μϱ, λ(ϱ)=0 et une pression du type p(ϱ)=aϱγ, avec a>0 et γ>1 deux constantes. Dans cette note, on propose une entropie relative originale pour un tel système, avec cette dépendance des viscosités en la densité, et on donne quelques applications. Ceci étend les résultats avec viscosités constantes initiés par E. Feireisl, B.J. Jin and A. Novotny dans [J. Math. Fluid Mech. (2012)]. On présente quelques résultats liés à l'unicité faible-fort, la convergence vers une solution dissipative d'Euler compressible. Ceci justifie en particulier la convergence d'un système de Saint-venant avec viscosité vers son analogue non visqueux.