Figures real, imagined, and missing in Poncelet, Plücker, and Gergonne

In the early nineteenth century debate over geometric methodology, Jean-Victor Poncelet characterized pure geometry as reasoning in which the figure is never lost from view. Whether illustrated, described or constructed, Poncelet presented the figure as the primary form of geometrical evidence, a means of justification based in sensory perception. In Poncelet's pure geometry, the objects of geometry were emphatically representational and tangible. By contrast, though classified as analytic geometry, Julius Plücker's contemporary research treated coordinate equations as visual geometric objects—evidence—by focusing on their form and endeavouring to avoid calculations. Working from Poncelet's division between pure and analytic geometries we focus on five versions by three different geometers, of a single conic section construction written between 1817 and 1826. Despite the similarity of their results, Poncelet, Plücker, and Joseph Diaz Gergonne each addressed the problem from contrasting methodological perspectives. We examine how the figure-based distinction materialized in contemporary geometric practices, and what constituted geometric evidence when the figure was lost from view.

RésuméDans le débat qui eut lieu au début du dix-neuvième siècle sur la méthodologie de la géométrie, Jean-Victor Poncelet a caractérisé la géométrie pure comme un raisonnement dans lequel la figure n'est jamais perdue de vue. Qu'elle fût illustrée, décrite ou construite, Poncelet présentait la figure comme la forme première de l'évidence géométrique, un moyen de justification fondé sur la perception sensorielle. Dans la géométrie pure de Poncelet, les objets de la géométrie étaient catégoriquement figuratifs et tangibles. D'un autre côté, bien que classées en géométrie analytique, les recherches contemporaines de Julius Plücker traitaient les équations entre coordonnées comme des objets géométriques visuels, en mettant l'accent sur les formes et en s'efforçant d'éviter les calculs. À partir de la division de Poncelet entre géométrie pure et géométrie analytique, nous nous concentrons ici sur cinq versions, écrites entre 1817 et 1826 par trois géomètres, d'une même construction concernant les sections coniques. Malgré la similarité de leurs résultats, Poncelet, Plücker et Joseph Diaz Gergonne s'intéressèrent au problème à partir de perspectives méthodologiques très différentes. Nous examinons ici la manière dont une distinction fondée sur le rôle de la figure s'est concrétisée dans les pratiques géométriques contemporaines et ce qui constitue la preuve géométrique lorsque la figure est perdue de vue.