Sur la notion de limite interne et externe dans les fonctions de croissance monotones. Une reformulation de l'équation logistique

RésuméLa valeur limite ( « à saturation ») des fonctions de croissance non périodiques constitue l'un des paramètres de divers modèles usuels, comme l'équation logistique. Son interprétation est double, représentant, soit une limite de nature interne ou endogène, soit une limite externe dépendant de l'environnement. Reprenant notre modèle autocatalytique de populations cellulaires structurées (Buis, modèle II, 2003), nous proposons une reformulation de l'équation logistique, illustrée dans le cas de trois classes de cellules (juvéniles, matures, sénescentes). La composante agoniste correspond exactement à la seule fraction active de la population (cellules matures non sénescentes), alors que la composante antagoniste s'interprète comme une limite externe (source ou substrat disponible). L'existence et les modalités d'une limite interne sont étudiées sur la base de ce même modèle de type autocatalytique, avec deux modification essentielles : absence de compétition (source non limitante), existence d'un nombre maximal de mitoses par lignée cellulaire (Lück et Lück, 1978). L'analyse, conduite selon le principe des automates cellulaires déterministes (L-systèmes), montre la flexibilité de ce modèle, qui exhibe une diversité de propriétés cinétiques : écarts à la forme sigmoïde, nombre et position des extremums de la vitesse de croissance, nombre de phases de la structure temporelle. Ceci correspond bien à la diversité des courbes expérimentales de croissance, dont les singularités du gradient de la vitesse de croissance ne peuvent souvent être correctement expliquées par les modèles globaux usuels. Pour citer cet article : R. Buis, J. Lück, C. R. Biologies 329 (2006).

The boundary value (plateau) of non-periodic growth functions constitutes one of the parameters of various usual models such as the logistic equation. Its double interpretation involves either a limit of an internal or endogenous nature or an external environment-dependent limit. Using the autocatalytic model of structured cell populations (Buis, model II, 2003), a reformulation of the logistic equation is put forward and illustrated in the case of three cell classes (juvenile, mature, senescing). The agonistic component corresponds exactly to the only active fraction of the population (non-senescing mature cells), whereas the antagonistic component is interpreted in terms of an external limit (available substrate or source). The occurrence and properties of an external limit are investigated using the same autocatalytic model with two major modifications: the absence of competition (non-limiting source) and the occurrence of a maximum number of mitoses per cell filiation (Lück and Lück, 1978). The analysis, which is carried out according to the principle of deterministic cell automata (L-systems), shows the flexibility of the model, which exhibits a diversity of kinetic properties: shifts from the sigmoidal form, number and position of growth rate extremums, number of phases of the temporal structure. These characteristics correspond to the diversity of the experimental growth curves where the singularities of the growth rate gradient are often not accounted for satisfactorily by the usual global models. To cite this article: R. Buis, J. Lück, C. R. Biologies 329 (2006).