Supergénérix

RésuméEtant donné un sous-groupe G d'un groupe Γ stable (au sens modèle-théorique), et en particulier quand Γ est un groupe de rang de Morley fini, les traces sur G des sous-ensembles définissables de Γ ont une propriété remarquable : si la clôture définissable de G est connexe, elles sont soit supergénériques, soit de complémentaire supergénérique, au sens de la définition donnée au tout début de cet article. Un exemple de cette situation est fourni par les groupes linéaires : pour un certain n, G   est un sous-groupe de Γ=GLn(K)Γ=GLn(K), où K   est un corps qu'on peut supposer algébriquement clos ; les ensembles définissables au sens de GLn(K)GLn(K) sont alors ses parties constructibles, c-à-d les combinaisons booléennes d'un nombre fini de ses fermés de Zariski.Quel que soit le groupe G, ses parties supergénériques forment un filtre de gros ensembles, qui, à ce qu'il me semble, est défini ici pour la première fois. Cet article est une amorce de l'étude de la supergénéricité dans un cadre général, sans aucune hypothèse de nature modèle-théorique, mais avec une attention spéciale portée aux propriétés de généricité bien particulières que possèdent les parties définissables d'un groupe stable. Sa lecture ne demande aucune connaissance en Logique, si on est prêt à faire l'impasse sur les démonstrations des théorèmes établissant que ces ensembles ont bien ces propriétés.

Given a subroup G of a stable (in the model-theoric sense) group Γ, in particular when Γ is a group of finite Morley rank, the traces on G of the definable subsets of Γ have a remarkable property: if the definable closure of G is connected, they are either supergeneric, or supergenerically complemented, in the sense of the definition given at the very beginning of this paper. An example of this situation is provided by the linear groups: for some n, G   is a subgroup of Γ=GLn(K)Γ=GLn(K), where K   is a field that we may take algebraically closed; the definable sets in the sense of GLn(K)GLn(K) are its constructible subsets, i.e. the boolean combinations of a finite number of its Zariski closed subsets.For any group G, the supergeneric subsets of G form a filter of large sets, which, to my best knowledge, is defined here for the first time. This paper undertakes the study of supergenericity in a general context, with no hypotheses of a model-theoric nature, but with a special attention given to the very specific properties of genericity possessed by the definable subsets of a stable group. It can be read without any knowledge of Logic, provided that one is ready to skip the proofs of the theorems showing precisely that these definable sets have these properties.