Sur la dimension de Krull des anneaux noethériens

RésuméNous revisitons certains résultats importants de la théorie de la dimension sur les anneaux noethériens. En particulier, nous arrivons au résultat suivant : pour tout élément x d'un anneau noethérien A, on pose ℓx=Kdimx−NA et qx=KdimA/Ax. Alors KdimA⩽max(ℓx,qx)+δℓx,qx où δ est le symbole de Kronecker. Cette formule implique par exemple le théorème de l'idéal principal de Krull et sa formulation « duale ».

We study some important results of the dimension theory on the noetherian rings. In particular, we show the following result: let x be an element of a noetherian ring A, and ℓx=Kdimx−NA and qx=KdimA/Ax. Then KdimA⩽max(ℓx,qx)+δℓx,qx where δ is the Kronecker's symbol. For example, this formula implies the Krull's principal ideal theorem and its dual formulation.