Sur la K-théorie du foncteur norme

RésuméLa K  -théorie d'un foncteur peut être vue comme la version relative de celle d'un anneau unitaire. Après une description du groupe K0K0 d'un foncteur, nous montrons que cette K-théorie de foncteur possède une suite exacte longue de Mayer–Vietoris.Dans le cas d'une extension galoisienne de corps de nombres F/LF/L, d'anneaux d'entiers respectifs A et B  , le groupe K0K0 du “foncteur norme” est une extension d'un sous-groupe du groupe des classes d'idéaux Cl(A)Cl(A) du corps F   par le groupe de cohomologie de Tate Hˆ0(G,A∗).La suite exacte longue de Mayer–Vietoris permet d'expliciter un quotient du sous-groupeClN(A):=kerN:Cl(A)→Cl(B) du groupe des classes Cl(A)Cl(A), où N désigne la norme, sous la forme d'une suite exacte courte1→B∗/B∗∩N(F∗)→Hˆ0(G,F∗)∩Hˆ0(G,UF)→ClN(A)/IGCl(A)→1 où UFUF est le groupe des unités semi-locales du corps F. Pour conclure cet article, nous proposons quelques applications arithmétiques.

The K-theory of a functor may be viewed as a relative version of the K-theory of a ring. After its description, we prove a Mayer–Vietoris exact sequence in this framework.In the case of a Galois extension of a number field F/LF/L with rings of integers A, B respectively, this K  -theory of the “norm functor” is an extension of a subgroup of the ideal class group Cl(A)Cl(A) of F   by the Tate cohomology group Hˆ0(G,A∗).The Mayer–Vietoris exact sequence enables us to describe in a quite explicit way a quotient of the subgroupClN(A):=kerN:Cl(A)→Cl(B) of the ideal class group Cl(A)Cl(A), where N is the norm. We also prove a short exact sequence1→B∗/B∗∩N(F∗)→Hˆ0(G,F∗)∩Hˆ0(G,UF)→ClN(A)/IGCl(A)→1 where UFUF is the group of semi-local units of F.Finally, we conclude this paper by applications of our methods to Number Theory.