Slices for biparabolic coadjoint actions in type A

Let q be a truncated biparabolic subalgebra of a simple Lie algebra. In previous work it was shown that the invariant subalgebra Y(q) of the algebra R[q∗] of regular functions on q∗, is polynomial in most cases. This includes all cases if g=sl(n) and so provides 22(n−1) mostly non-isomorphic Lie algebras q for which Y(q) is polynomial. In general the structure of the generators and even their number have no known simple expression.One may recall that the set of companion matrices forms a slice to the regular co-adjoint orbits in g∗: g=sl(n). The present work is a quite remarkable and far reaching generalisation of this “companion slice.” Precisely one gives an element y∈q∗ and a subspace V⊂q∗ such that restriction of functions gives an algebra isomorphism of Y(q) onto R[y+V]. The construction is a combinatorial procedure based on the data specifying q. Unlike the semisimple case there can be many equivalence classes of such pairs. As a consequence it is found that the nilfibre of the geometric quotient map may have many irreducible components containing a regular element, namely the closure of the co-adjoint orbit defined by such y∈q∗. An example shows it may also have a component with no regular elements.

RésuméSoit q une sous-algèbre biparabolique tronquée d'une algèbre de Lie simple. Il a été démontré que l'algèbre Y(q) des fonctions regulières invariantes sur q∗ soit, dans la plupart des cas, une algèbre de polynômes. En particulier lorsque g=sl(n) on obtient 22(n−1) sous-algèbres q, plutôt non-isomorphes, pour lesquelles Y(q) est polynômiale. En générale la structure des générateurs, et même leur nombre, n'a aucune expression simple connue.On rappelle que l'ensemble des matrices de compagnon forme une tranche aux orbites co-adjoints regulières de g∗:g=sl(n). Le travail actuel est une généralisation remarquable et profonde de cette « tranche de compagnon ». Précisément on construit un élément y∈q∗ et un sous-espace V⊂q∗ tel que l'application de restriction de fonctions soit un isomorphisme de Y(q) dans l'algèbre R[y+V] des fonctions regulières sur y+V. Celle-ci est obtenue par une procédure combinatoire basée sur la description de q elle-même. Au contraire du cas semi-simple on pourrait trouver plusieurs couples (y,V) non-équivalentes. Par conséquent le nulle-fibre du morphisme géometrique quotient peut admettre plusieurs composants irréductibles contenants un élément régulier, à savoir l'adhérence de l'orbite engendrée par un élément y∈q∗ appartenent à un tel couple. En outre, un exemple montre qu'on peut y avoir de composants contenants aucun élément régulier de q∗.