Le schéma Quot invariant

RésuméEtant donné un schéma affine X muni de l'action d'un groupe réductif G et d'un faisceau M cohérent et G-linéarisé, on construit le « schéma Quot invariant » qui paramètre les quotients de M dont l'espace des sections globales est somme directe de G-modules simples avec des multiplicités finies fixées.On détermine ensuite le schéma Quot invariant dans une situation simple : X est le cône des vecteurs primitifs d'un G-module simple et M est le faisceau libre sur X engendré par un second G-module simple. Le schéma Quot invariant obtenu n'a qu'un seul point, le plus souvent réduit. Les seuls cas où il n'est pas réduit sont obtenus quand X est le cône des vecteurs primitifs du Spin(V)-module V, où V est un espace vectoriel quadratique de dimension (finie) impaire.

Given an affine scheme X with an action of a reductive group G and a G-linearized coherent sheaf M, we construct the “invariant Quot scheme” that parametrizes the quotients of M whose space of global sections is a direct sum of simple G-modules with fixed finite multiplicities.Then we determine the invariant Quot scheme in a simple situation, where X is the cone of primitive vectors of a simple G-module and M is the free sheaf on X generated by another simple G-module. This invariant Quot scheme has only one point, that is reduced in most of the cases. The only cases where it is not reduced occur when X is the cone of primitive vectors of a quadratic vector space V of odd dimension, under the action of Spin(V).