Indice et décomposition de Cartan d'une algèbre de Lie semi-simple réelle

RésuméLa décomposition d'Iwasawa g0=k0⊕aˆ0⊕n0 issue de la décomposition de Cartan g0=k0⊕p0g0=k0⊕p0 d'une algèbre de Lie semi-simple réelle permet d'écrire g0g0 sous la forme g0=k0⊕b0g0=k0⊕b0, avec b0=aˆ0⊕n0. Dans cet article, on donne une formule explicite pour l'indice, indbindb, de bb, où bb est le complexifié de b0b0. Précisément, on montre le résultat suivant :indb=rgg−rgk,indb=rgg−rgk, où gg et kk sont respectivement les complexifiés de g0g0 et de k0k0. Nous répondons en particulier de façon positive à une question posée par Raïs dans [M. Raïs, Notes sur l'indice des algèbres de Lie, preprint, 2004] : l'indice est-il additif dans la décomposition suivante : g0=k0⊕b0g0=k0⊕b0 ? La démonstration repose sur la construction de Kostant et utilise les transformations de Cayley. On donne en outre une caractérisation des algèbres de Lie semi-simples réelles g0g0 pour lesquelles la sous-algèbre b0b0 possède une forme stable.

The Iwasawa decomposition g=k0⊕aˆ0⊕n0 of the real semisimple Lie algebra g0g0 comes from its Cartan decomposition g0=k0⊕p0g0=k0⊕p0. Then we get g0=k0⊕b0g0=k0⊕b0 where b0=aˆ0⊕n0. In this note, we establish an explicite formula for the index, indbindb, of bb, where bb is the complexification of b0b0. More precisely, we show the following result:indb=rgg−rgk,indb=rgg−rgk, where gg and kk are respectively the complexifications of g0g0 and k0k0. In particular, this answers positively a question by Raïs in [M. Raïs, Notes sur l'indice des algèbres de Lie, preprint, 2004]: is the index additive for the following decomposition: g0=k0⊕b0g0=k0⊕b0? In the proof, we use the Kostant construction and the Cayley transforms. We also give a characterization of the semisimple real Lie algebra g0g0 whose subalgebra b0b0 has a stable form.