Modules projectifs de type fini, applications linéaires croisées et inverses généralisés

RésuméD'une part, nous développons la théorie générale des inverses généralisés de matrices en la mettant en rapport avec la théorie constructive des modules projectifs de type fini. D'autre part nous précisons certains aspects de cette théorie liés au calcul formel et à l'analyse numérique matricielle. Nous démontrons en particulier qu'on peut tester si un A-module de présentation finie est projectif et calculer une matrice de projection correspondante « en temps polynomial ». Plus précisément pour une matrice A∈Am×n on peut décider s'il existe un inverse généralisé B pour A (c'est-à-dire une matrice B vérifiant ABA=A et BAB=B) et, en cas de réponse positive, calculer un tel inverse généralisé par un algorithme qui utilise O(p6q2) opérations arithmétiques (avec p=inf(m,n), q=sup(m,n)) et un nombre polynomial de tests d'appartenance d'un élément à un idéal engendré par « un petit nombre d'éléments ».