Sign-changing solutions of competition–diffusion elliptic systems and optimal partition problems

In this paper we prove the existence of infinitely many sign-changing solutions for the system of m Schrödinger equations with competition interactions−Δui+aiui3+βui∑j≠iuj2=λi,βui,ui∈H01(Ω),i=1,…,m where Ω   is a bounded domain, β>0β>0 and ai⩾0ai⩾0 ∀i  . Moreover, for ai=0ai=0, we show a relation between critical energies associated with this system and the optimal partition probleminfωi⊂Ωopenωi∩ωj=∅∀i≠j∑i=1mλki(ωi), where λki(ω)λki(ω) denotes the kiki-th eigenvalue of −Δ in H01(ω). In the case ki⩽2ki⩽2 we show that the optimal partition problem appears as a limiting critical value, as the competition parameter β diverges to +∞.

RésuméDans cet article nous montrons lʼexistence dʼune infinité de solutions qui changent de signe pour le système dʼéquations de Schrödinger avec des interactions compétitives−Δui+aiui3+βui∑j≠iuj2=λi,βui,ui∈H01(Ω),i=1,…,m où Ω   est un domaine borné, β>0β>0 et ai⩾0ai⩾0 ∀i  . De plus, quand ai=0ai=0, nous démontrons une relation entre les énergies critiques associées à ce système et le problème de partition optimaleinfωi⊂Ωopenωi∩ωj=∅∀i≠j∑i=1mλki(ωi), où λki(ω)λki(ω) indiques la kiki-ème valeur propre de lʼopérateur −Δ in H01(ω). Dans le cas ki⩽2ki⩽2, nous montrons que le problème de partition optimale apparaît comme une valeur limite critique, en tant que paramètre de compétition β diverge vers +∞.