On the energy exchange between resonant modes in nonlinear Schrödinger equations

We consider the nonlinear Schrödinger equationiψt=−ψxx±2cos2x|ψ|2ψ,x∈S1,t∈R and we prove that the solution of this equation, with small initial datum ψ(0,x)=ε(Aexp(ix)+Bexp(−ix))ψ(0,x)=ε(Aexp(ix)+Bexp(−ix)), will periodically exchange energy between the Fourier modes eixeix and e−ixe−ix as soon as A2≠B2A2≠B2. This beating effect is described up to time of order ε−5/2ε−5/2 while the frequency is of order ε2ε2. We also discuss some generalizations.

RésuméNous considérons l'équation de Schödinger non linéaireiψt=−ψxx±2cos2x|ψ|2ψ,x∈S1,t∈R et nous montrons la solution de cette équation ayant pour donnée initiale ψ(0,x)=ε(Aexp(ix)+Bexp(−ix))ψ(0,x)=ε(Aexp(ix)+Bexp(−ix)) avec ε   petit, va échanger périodiquement de l'énergie entre les modes de Fourier eixeix et e−ixe−ix dès que A2≠B2A2≠B2. Cet effet de battement, dont la période est de l'ordre de ε−2ε−2, est mis en évidence pour des temps de l'ordre de ε−5/2ε−5/2. Nous présentons aussi quelques généralisations.