Existence of minimizers of free autonomous variational problems via solvability of constrained ones

We consider the following autonomous variational problemminimize {∫abf(v(x),v′(x))dx:v∈W1,1(a,b),v(a)=α,v(b)=β} where the Lagrangian f is assumed to be continuous, but not necessarily coercive, nor convex. We show that the existence of the minimum is linked to the solvability of certain constrained variational problems. This allows us to derive existence theorems covering a wide class of nonconvex noncoercive problems.

RésuméOn considère la classe des problèmes variationels autonomes ci-dessous :minimiser {∫abf(v(x),v′(x))dx:v∈W1,1(a,b),v(a)=α,v(b)=β} où le lagrangien f est une fonction continue sans hypothèse de coercivité ou de convexité. On démontre que l'existence de solutions pour ces problèmes est liée à l'existence de solutions de certains problèmes variationels sous contraintes. Ce résultat permet d'obtenir des théorèmes d'existence pour une classe étendue de problèmes variationels ni coercifs ni convexes.