Controllability of a string submitted to unilateral constraint

This article studies the controllability property of a homogeneous linear string of length one, submitted to a time dependent obstacle (described by the function {ψ(t)}0⩽t⩽T) located below the extremity x=1. The Dirichlet control acts on the other extremity x=0. The string is modelled by the wave equation y″−yxx=0 in (t,x)∈(0,T)×(0,1), while the obstacle is represented by the Signorini's conditions y(t,1)⩾ψ(t), yx(t,1)⩾0, yx(t,1)(y(t,1)−ψ(t))=0 in (0,T). The characteristic method and a fixed point argument allow to reduce the problem to the analysis of the solutions at x=1. We prove that, for any T>2 and initial data (y0,y1)∈H1(0,1)×L2(0,1) with ψ(0)⩽y0(1), the system is null controllable with controls in H1(0,T). Two distinct approaches are used. We first introduce a penalized system in yϵ, transforming the Signorini's condition into the simpler one yϵ,x(t,1)=ϵ−1−[yϵ(t,1)−ψ(t)], ϵ being a small positive parameter. We construct explicitly a family of controls of the penalized problem, uniformly bounded with respect to ϵ in H1(0,T). This enables us to pass to the limit and to obtain a control for the initial equation. A more direct approach, based on differential inequalities theory, leads to a similar positive conclusion. Numerical experiments complete the study.

RésuméCet article étudie les propriétés de contrôlabilité d'une corde homogène de longeur un, soumise à un obstacle dépendant du temps (décrit par la fonction {ψ(t)}0⩽t⩽T) à l'extrémité x=1. Le contrôle Dirichlet agit à l'extrémité x=0. La corde est modélisée par l'équation des ondes y″−yxx=0 dans (t,x)∈(0,T)×(0,1), tandis que l'obstacle est représenté par les conditions de Signorini y(t,1)⩾ψ(t), yx(t,1)⩾0, yx(t,1)(y(t,1)−ψ(t))=0 sur (0,T). La méthode des caractéristiques et un argument de point fixe permettent de réduire le problème à l'analyse des solutions en x=1. Nous prouvons que, pour tout T>2 et donnée initiale (y0,y1)∈H1(0,1)×L2(0,1) avec ψ(0)⩽y0(1), le système est contrôlable à zéro avec des contrôles dans H1(0,T). Deux approches sont utilisées. On introduit tout d'abord un système pénalisé en yϵ, transformant les conditions de Signorini en l'égalité yϵ,x(t,1)=ϵ−1−[yϵ(t,1)−ψ(t)], ϵ étant un paramètre positif. On construit explicitement une famille de contrôle du problème pénalisé uniformément bornée par rapport à ϵ dans H1(0,T). Cela nous permet de passer à la limite et d'obtenir un contrôle pour le système initial. Une approche plus directe, relevant de la théorie des inéquations différentielles, conduit à un résultat positif similaire. Quelques applications numériques complètent l'étude.