Morse theory of causal geodesics in a stationary spacetime via Morse theory of geodesics of a Finsler metric

We show that the index of a lightlike geodesic in a conformally standard stationary spacetime (M0×R,g) is equal to the index of its spatial projection as a geodesic of a Finsler metric F on M0 associated to (M0×R,g). Moreover we obtain the Morse relations of lightlike geodesics connecting a point p to a curve γ(s)=(q0,s) by using Morse theory on the Finsler manifold (M0,F). To this end, we prove a splitting lemma for the energy functional of a Finsler metric. Finally, we show that the reduction to Morse theory of a Finsler manifold can be done also for timelike geodesics.

RésuméOn démontre que l'indice d'un rayon de lumière dans un espace-temps stationnaire (M0×R,g) conformément standard est égal à l'indice de sa projection spatiale vue comme une géodésique d'une métrique de Finsler F sur M0 associée à (M0×R,g). De plus, on obtient les relations de Morse de géodésiques isotropes reliant un point p à une courbe γ(s)=(q0,s) en utilisant la théorie de Morse sur la variété de Finsler (M0,F). À cette fin, on démontre un lemme de séparation de la fonctionnelle de l'énergie d'une métrique de Finsler. Enfin, on montre que la réduction à la théorie de Morse d'une variété de Finsler peut être faite aussi pour les géodésiques temporelles.