The Schrödinger–Maxwell system with Dirac mass

We study a nonrelativistic charged quantum particle moving in a bounded open set Ω⊂R3 with smooth boundary under the action of a zero-range potential. In the electrostatic case the standing wave solution takes the form ψ(t,x)=u(x)e−iωt where u formally satisfies and the electric potential φ is given by −Δφ=u2. We give a rigorous definition of this problem and show that it has a weak nontrivial solution.

RésuméNous étudions une particule quantique chargée et non relativiste se déplaçant dans un domaine ouvert borné Ω⊂R3 au contour régulier sous l'action d'un potentiel concentré en un point. Dans le cas electrostatique, l'onde solution prends la forme ψ(t,x)=u(x)e−iωt où u satisfait formellement et le potentiel électrique φ est donné par −Δφ=u2. Nous donnons une définition rigoureuse du problème et montrons qu'il possède une solution faible non triviale.