On questions of decay and existence for the viscous Camassa–Holm equations

We consider the viscous n-dimensional Camassa–Holm equations, with n=2,3,4 in the whole space. We establish existence and regularity of the solutions and study the large time behavior of the solutions in several Sobolev spaces. We first show that if the data is only in L2 then the solution decays without a rate and that this is the best that can be expected for data in L2. For solutions with data in Hm∩L1 we obtain decay at an algebraic rate which is optimal in the sense that it coincides with the rate of the underlying linear part.

RésuméOn considère les équations visqueuses de Camassa–Holm dans Rn, n=2,3,4. Nous établissons l'existence et la régularité des solutions. Nous étudions le comportement asymptotique des solutions dans plusieurs espaces de Sobolev quand le temps tend vers l'infini. On montre que si la donnée est seulement dans L2 la solution décroît vers zéro, mais la décroissance ne peut être uniforme. Pour les solutions avec donnée dans L1∩Hm on obtient une décroissance algébrique avec une vitesse qui est optimale dans le sens où elle coïncïde avec les solutions correspondant à l'équation linéaire.