Breaking of resonance and regularizing effect of a first order quasi-linear term in some elliptic equations

In this article we study the problem(P){−Δu+|∇u|q=λg(x)u+f(x)in Ω,u>0in Ω,u=0on ∂Ω, with 1⩽q⩽21⩽q⩽2 and f,gf,g are positive measurable functions. We give assumptions on g with respect to q   for which for all λ>0λ>0 and all f∈L1f∈L1, f⩾0f⩾0, problem (P) has a positive solution. In particular we focus our attention on g(x)=1|x|2 to prove that the assumptions on g are optimal.

RésuméDans cet article nous étudions le problème(P){−Δu+|∇u|q=λg(x)u+f(x)in Ω,u>0in Ω,u=0on ∂Ω, où 1⩽q⩽21⩽q⩽2 et f,gf,g sont des fonctions mesurables positives. Nous donnons des hypothèses sur g dépendant de q   telles que pour tout λ>0λ>0 et pour tout f∈L1f∈L1, f⩾0f⩾0, le problème (P) a une solution positive. Nous portons une attention particulière au cas g(x)=1|x|2 pour montrer que les hypothèses sur g sont optimales.