An optimal partial regularity result for minimizers of an intrinsically defined second-order functional

For a compact Riemannian manifold N   and a domain Ω⊂RmΩ⊂Rm, we consider the intrinsic bi-energyE2(u):=∫Ω|∇Du|2dx for maps u:Ω→N. We prove that the minimizers of E2E2 constructed by R. Moser satisfy u∈Wloc2,2(Ω,N). Furthermore, we apply a dimension reduction argument in order to show H-dim(sing(u))⩽m−5H-dim(sing(u))⩽m−5 for all minimizers u∈W2,2(Ω,N)u∈W2,2(Ω,N) of the functional E2E2. This result is optimal since we show that the map u0:Bm→Sm−1, x↦x|x| minimizes E2E2 in its Dirichlet class for m⩾5m⩾5.

RésuméPour une variété riemanienne compacte et un domaine Ω⊂RmΩ⊂Rm, nous considérons la bi-énergie intrinsèqueE2(u):=∫Ω|∇Du|2dx pour les applications u:Ω→N. Nous démontrons que les minimiseurs de E2E2 construée par R. Moser satisfont u∈Wloc2,2(Ω,N). En outre, nous utilisons une méthode de réduction de la dimension pour prouver H-dim(sing(u))⩽m−5H-dim(sing(u))⩽m−5 pour tout minimiseur u∈W2,2(Ω,N)u∈W2,2(Ω,N) de la fonctionnelle E2E2. Ce résultat est optimal parce que nous démontrons que l'application u0:Bm→Sm−1, x↦x|x| minimise E2E2 dans sa classe de Dirichlet pour m⩾5m⩾5.