Nonlinear Schrödinger equation on real hyperbolic spaces

We consider the Schrödinger equation with no radial assumption on real hyperbolic spaces Hn. We obtain in all dimensions n⩾2 sharp dispersive and Strichartz estimates for a large family of admissible pairs. As a first consequence, we obtain strong well-posedness results for NLS. Specifically, for small initial data, we prove L2 and H1 global well-posedness for any subcritical power (in contrast with the Euclidean case) and with no gauge invariance assumption on the nonlinearity F. On the other hand, if F is gauge invariant, L2 charge is conserved and hence, as in the Euclidean case, it is possible to extend local L2 solutions to global ones. The corresponding argument in H1 requires conservation of energy, which holds under the stronger condition that F is defocusing. Recall that global well-posedness in the gauge invariant case was already proved by Banica, Carles and Staffilani, for small radial L2 data or for large radial H1 data. The second application of our global Strichartz estimates is scattering for NLS both in L2 and in H1, with no radial or gauge invariance assumption. Notice that, on Euclidean spaces Rn, this is only possible for the critical power and can be false for subcritical powers while, on hyperbolic spaces Hn, global existence and scattering of small L2 solutions hold for all powers . If we restrict to defocusing nonlinearities F, we can extend the H1 scattering results of Banica, Carles and Staffilani to the nonradial case. Also there is no distinction anymore between short range and long range nonlinearities: the geometry of hyperbolic spaces makes every power-like nonlinearity short range.

RésuméNous étudions l'équation de Schrödinger sur les espaces hyperboliques réels Hn, sans aucune hypothèse de radialité. Nous commençons par établir une inégalité dispersive optimale en toute dimension n⩾2, ainsi qu'une inégalité de Strichartz pour une grande famille de paires admissibles. Nous en déduisons que l'équation semi-linéaire est fortement bien posée dans L2 ou dans H1, pour des données initiales petites et pour des non-linéarités relativement générales, en particulier pour toutes les puissance sous-critiques (contrairement au cas euclidien) et sans hypothèse d'invariance par changement de jauge. Dans ce dernier cas, on a conservation de la charge et les solutions L2 locales se prolongent en solutions L2 globales ; le phénomène analogue dans H1 repose sur la conservation de l'énergie, qui est vérifiée pour des non-linéarités défocalisantes. Rappelons que Banica, Carles et Staffilani avaient précédemment montré que l'équation semi-linéaire était globalement bien posée pour des non-linéarités invariantes par changement de jauge et pour des données radiales petites dans L2 ou arbitraires dans H1. Comme seconde application, nous montrons qu'il y a diffusion (scattering) dans L2 et dans H1, à nouveau sans hypothèse de radialité ou d'invariance par changement de jauge. Rappelons que dans Rn ceci n'est possible que pour l'exposant critique et peut être faux pour des exposants sous-critiques, tandis que sur l'espace hyperboliques Hn, on a existence globale et diffusion pour tout exposant (et pour des conditions initiales petites dans L2). Dans le cas défocalisant, nous pouvons étendre au cas non radial les résultats de diffusion H1 de Banica, Carles, Staffilani. Observons également que, sur l'espace hyperbolique, toutes les non-linéarités de type puissance n'ont qu'un effet à courte portée, contrairement au cas euclidien.