Generalised twists, SO(n)SO(n), and the p-energy over a space of measure preserving maps

Let Ω⊂RnΩ⊂Rn be a bounded Lipschitz domain and consider the energy functionalFp[u,Ω]:=p−1∫Ω|∇u(x)|pdx, with p∈]1,∞[p∈]1,∞[ over the space of measure preserving mapsAp(Ω)={u∈W1,p(Ω,Rn):u|∂Ω=x,det∇u=1 a.e. in Ω}. In this paper we introduce a class of maps referred to as generalised twists and examine   them in connection with the Euler–Lagrange equations associated with FpFp over Ap(Ω)Ap(Ω). The main result is a surprising discrepancy between even and odd dimensions. Here we show that in even dimensions the latter system of equations admit infinitely many smooth solutions, modulo isometries, amongst such maps. In odd dimensions this number reduces to one. The result relies on a careful analysis of the full versus the restricted Euler–Lagrange equations where a key ingredient is a necessary and sufficient condition for an associated vector field to be a gradient.

RésuméSoit Ω⊂RnΩ⊂Rn un domaine de Lipschitz borné, on considère la fonctionnelle d'énergieFp[u,Ω]:=p−1∫Ω|∇u(x)|pdx, où p∈]1,∞[p∈]1,∞[ sur l'espace de fonctions conservant la mesureAp(Ω)={u∈W1,p(Ω,Rn):u|∂Ω=x,det∇u=1 a.a. dans Ω}. On introduit une classe de fonctions appellée des torsions généralisée qui est examinée dans le cadre des équations d'Euler–Lagrange associée à FpFp sur Ap(Ω)Ap(Ω). Le résultat principal est une surprenante différence de proprieté selon le parité de le dimension n. On démontre que pour n pair, ces équations admettent une infinité de solutions régulières qui sont des isometries, alors qu'en dimension impaire la solution est unique. Le résultat repose sur une analyse minutieuse de la version complète des équations d'Euler–Lagrange où l'ingrédient clé est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un champ vectoriel soit un gradient.