Solutions of an elliptic system with a nearly critical exponent

Consider the problem−Δuε=vεp,vε>0inΩ,−Δvε=uεqε,uε>0inΩ,uε=vε=0on∂Ω, where Ω   is a bounded convex domain in RNRN, N>2N>2, with smooth boundary ∂Ω  . Here p,qε>0p,qε>0, andε:=Np+1+Nqε+1−(N−2). This problem has positive solutions for ε>0ε>0 (with pqε>1pqε>1) and no non-trivial solution for ε⩽0ε⩽0. We study the asymptotic behavior of least energy   solutions as ε→0+ε→0+. These solutions are shown to blow-up at exactly one point, and the location of this point is characterized. In addition, the shape and exact rates for blowing up are given.

RésuméConsidérons le problème−Δuε=vεp,vε>0enΩ,−Δvε=uεqε,uε>0enΩ,uε=vε=0sur∂Ω, où Ω   est un domaine convexe et borné de RNRN, N>2N>2, avec la frontière régulière ∂Ω  . Ici p,qε>0p,qε>0, etε:=Np+1+Nqε+1−(N−2). Ce problème a des solutions positives pour ε>0ε>0 (avec pqε>1pqε>1) et aucune solution non-triviale pour ε⩽0ε⩽0. Nous étudions le comportement asymptotique de solutions d'énergie minimale   quand ε→0+ε→0+. Ces solutions explosent en un seul point, et la position de ce point est caracterisée. De plus, le profil et les vitesses exactes d'explosion sont donnés.