Hardy inequalities and dynamic instability of singular Yamabe metrics

We study the Cauchy problem(P){ut=Δu+|u|σ−1uin RN×(0,+∞),u(x,0)=u0(x)in RN, for nonnegative functions u:RN×(0,+∞)→R+. Here N⩾3N⩾3, σ+1=2∗=2NN−2 is the Sobolev exponent of the embedding H1(RN)↪L2∗(RN)H1(RN)↪L2∗(RN) and u0=Uu0=U is a time independent positive solution with nonempty singular set Σ=Sing(U)Σ=Sing(U), e.g. a distributional solution associated to a singular Yamabe metric on SNSN. We show that, if Σ is a finite set, then problem (P) has a weak solution which is smooth for positive time. Hence, time independent singular solutions may be unstable and the Cauchy problem (P) may have infinitely many weak solutions. A similar weaker result is proved for any nonnegative distributional solution U when Σ is a compact set.

RésuméNous étudions le problème de Cauchy(P){ut=Δu+|u|σ−1uin RN×(0,+∞),u(x,0)=u0(x)in RN, pour fonctions nonnégatives u:RN×(0,+∞)→R+. Ici N⩾3N⩾3, σ+1=2∗=2NN−2 est la puissance critique pour l'injection de Sobolev H1(RN)↪L2∗(RN)H1(RN)↪L2∗(RN) et u0=Uu0=U est une solution stationnaire singulière, par exemple une solution distributionelle associée à une métrique de Yamabe singulière sur SNSN. Nous montrons que, si Σ=Sing(U)Σ=Sing(U) est un ensemble fini, alors le problème (P) a une solution faible qui est régulière pour temps positives. Par conséquent, solutions stationnaires singulières peuvent être instables et le problème de Cauchy (P) peut avoir un nombre infini de solutions faibles. De plus, nous montrons un rèsultat similaire pour chaque solution distributionelle U avec ensemble singulier compact.