Mather measures and the Bowen–Series transformation

We consider a specific example of a compact Riemannian surface M of genus 2 and constant negative curvature. We identify the boundary at infinity of M   to the unit circle Σ=S1Σ=S1 and choose a particular Bowen–Series map T:Σ→Σ. We first show that a suspension of the natural extension of (Σ,T)(Σ,T) by a roof function cohomologous to lnT′lnT′ is isomorphic to the geodesic flow on T1MT1M. We choose a particular set of closed geodesics (δi)i=14 generating the fundamental group and a partition of Σ   into disjoint intervals (Ai)i=−44 naturally associated to (δi)(δi). We show that any ϕtϕt-invariant probability measure μ   minimizing L=12‖v‖x2 and with homology h=∑i=14hi[δi] corresponds by the previous isomorphism to a unique T-invariant probability measure m satisfyinghi/‖h‖s=[m(Ai)−m(A−i)]/∫lnT′dm∀i=1,…,4. We also show that any ϕtϕt-invariant probability measure μ   minimizing ∫(L−ω)dμ for a fixed cohomology [ω][ω] canonically corresponds to a T-invariant probability measure m minimizing∫(‖ω‖slnT′−∑i=14ωi[1Ai−1A−i])dm, where (ωi)i=14 are the coordinates of [ω][ω] in the dual basis of ([δi])([δi]).

RésuméNous considérons un exemple spécifique de surface compacte M riemannienne de genre 2 et de courbure constante égale à 2. Nous identifions le bord à l'infini de M   au cercle unité Σ=S1Σ=S1 et nous faisons le choix d'une application de Bowen–Series particulière T:Σ→Σ. Nous montrons d'abord que le flot suspendu au dessus de (Σ,T)(Σ,T) par une fonction plafond cohomologue à lnT′lnT′ est isomorphe au flot géodésique sur T1MT1M. Nous choisissons une famille de géodésiques fermées (δi)i=14 engendrant le groupe fondamental et une partition de Σ   en intervalles disjoints (Ai)i=−44 naturellement associés aux (δi)(δi). Nous montrons que toute mesure de probabilité ϕtϕt-invariante μ   minimisant L=12‖v‖x et d'homologie h=∑i=14hi[δi] correspond par l'isomorphisme précédent à une unique mesure de probabilité T-invariante m vérifiant :hi/‖h‖s=[m(Ai)−m(A−i)]/∫lnT′dm∀i=1,…,4. Nous montrons aussi que les mesures de probabilité ϕtϕt-invariantes μ   minimisant ∫(L−ω)dμ pour une cohomologie ω donnée, correspondent canoniquement aux mesures de probabilité T-invariantes m minimisant :∫(‖ω‖slnT′−∑i=14ωi[1Ai−1A−i])dm où (ωi)i=14 désignent les coordonnées de [ω][ω] dans la base duale de ([δi])([δi]).