On the topology of solenoidal attractors of the cylinder

We study the dynamics of skew product endomorphisms acting on the cylinder R/Z×RR/Z×R, of the form(θ,t)↦(ℓθ,λt+τ(θ)),(θ,t)↦(ℓθ,λt+τ(θ)), where ℓ⩾2ℓ⩾2 is an integer, λ∈(0,1)λ∈(0,1) and τ:R/Z→R is a continuous function. We are interested in topological   properties of the global attractor Ωλ,τΩλ,τ of this map. Given ℓ and a Lipschitz function τ  , we show that the attractor set Ωλ,τΩλ,τ is homeomorphic to a closed topological annulus for all λ   sufficiently close to 1. Moreover, we prove that Ωλ,τΩλ,τ is a Jordan curve for at most finitely many λ∈(0,1)λ∈(0,1).These results rely on a detailed study of iterated “cohomological” equations of the form τ=Lλ1μ1τ=Lλ1μ1, μ1=Lλ2μ2,…, where Lλμ=μ○mℓ−λμLλμ=μ○mℓ−λμ and mℓ:R/Z→R/Z denotes the multiplication by ℓ map. We show the following finiteness result: each Lipschitz function τ can be written in a canonical way as,τ=Lλ1○⋯○Lλmμ,τ=Lλ1○⋯○Lλmμ, where m⩾0m⩾0, λ1,…,λm∈(0,1]λ1,…,λm∈(0,1] and the Lipschitz function μ   satisfies μ≠Lλρμ≠Lλρ for every continuous function ρ   and every λ∈(0,1]λ∈(0,1].

RésuméOn étudie la dynamique des produits croisés agissant sur le cylindre R/Z×RR/Z×R, de la forme(θ,t)↦(ℓθ,λt+τ(θ)),(θ,t)↦(ℓθ,λt+τ(θ)), où ℓ⩾2ℓ⩾2 est un entier, λ∈(0,1)λ∈(0,1) et τ:R/Z→R est une fonction continue. On s'intéresse aux propriétés topologiques   de l'attracteur global Ωλ,τΩλ,τ de cet endomorphisme. Étant donné ℓ et une fonction lipschitzienne τ  , on démontre que l'attracteur Ωλ,τΩλ,τ est homéomorphe à un anneau topologique pour tout λ   suffisamment proche de 1. D'autre part, on démontre qu'il existe au plus un nombre fini de λ∈(0,1)λ∈(0,1) tels que l'attracteur Ωλ,τΩλ,τ soit une courbe de Jordan.Ces résultats s'appuient sur une analyse détaillée des équations “cohomologiques” itérées : τ=Lλ1μ1τ=Lλ1μ1, μ1=Lλ2μ2,…, où Lλμ=μ○mℓ−λμLλμ=μ○mℓ−λμ et mℓmℓ est l'application de multiplication par ℓ   sur le cercle R/ZR/Z. On démontre le résultat de finitude suivant : toute fonction lipschitizenne τ s'écrit de façon canonique sous la formeτ=Lλ1○⋯○Lλmμ,τ=Lλ1○⋯○Lλmμ, où m⩾0m⩾0, λ1,…,λm∈(0,1]λ1,…,λm∈(0,1] et la fonction lispchitzienne μ   satisfait μ≠Lλρμ≠Lλρ pour toute fonction continue ρ   et tout λ∈(0,1]λ∈(0,1].